jueves, 5 de mayo de 2011

Video sobre movimiento parabolico

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Concepto


Se denomina movimiento parabólico al realizado por un objeto cuya trayectoria describe una parábola. Se corresponde con la trayectoria ideal de un proyectil que se mueve en un medio que no ofrece resistencia al avance y que está sujeto a un campo gravitatorio uniforme.
Puede ser analizado como la composición de dos movimientos rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme horizontal y un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado vertical.
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Imagenes del movimiento parabolico









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Ecuaciones del movimiento parabolico


Hay dos ecuaciones que rigen el movimiento parabólico:
  1. \mathbf{v_0} = v_0 \, \cos{\phi} \, \mathbf{i} + v_0 \, \sin{\phi} \, \mathbf{j}
  2. \mathbf{a} = -g \, \mathbf{j}
donde:
v_0 \,  es el módulo de la velocidad inicial.
\phi \,  es el ángulo de la velocidad inicial sobre la horizontal.
g \,  es la aceleración de la gravedad.
La velocidad inicial se compone de dos partes:
v_0 \, \cos{\phi}  que se denomina componente horizontal de la velocidad inicial.
En lo sucesivo  v_{0x} \,
v_0 \, \sin{\phi}  que se denomina componente vertical de la velocidad inicial.
En lo sucesivo  v_{0y} \,
Se puede expresar la velocidad inicial de este modo:
\mathbf{v_0} = v_{0x} \, \mathbf{i} + v_{0y} \, \mathbf{j}  : [ecu. 1]
Será la que se utilice, excepto en los casos en los que deba tenerse en cuenta el ángulo de la velocidad inicial.


Ecuación de la aceleración

La única aceleración que interviene en este movimiento es la de la gravedad, que corresponde a la ecuación:
\mathbf{a} = -g \, \mathbf{j}
que es vertical y hacia abajo.


Ecuación de la velocidad

La velocidad de un cuerpo que sigue una trayectória parabólica se puede obtener integrando la siguiente ecuación:
\begin{cases} \mathbf{a} = \cfrac{d\mathbf{v}}{dt} = -g \mathbf{i} \\ \mathbf{v}(0) = v_{0x}\mathbf{i}+v_{0y}\mathbf{j} \end{cases}
La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:
\mathbf{v}(t) = v_{0x}\mathbf{i}+(v_{0y}-gt)\mathbf{j}

Derivación de la ecuación de la velocidad 

Esta ecuación determina la velocidad del móvil en función del tiempo, la componente horizontal no varía, mientras que la componente vertical sí depende del tiempo y de la aceleración de la gravedad.


Ecuación de la posición

Casting obliquely.gif
Partiendo de la ecuación que establece la velocidad del móvil con la relación al tiempo y de la definición de velocidad, la posición puede ser encontrada integrando la siguiente ecuación diferencial:
\begin{cases} \mathbf{v} = \cfrac{d\mathbf{r}}{dt} = v_{0x}\mathbf{i}+(v_{0y}-gt)\mathbf{j} \\ \mathbf{r}(0) = x_0\mathbf{i}+y_0\mathbf{j} \end{cases}
La integración es muy sencilla por tratarse de una ecuación diferencial de primer orden y el resultado final es:
\mathbf{r}(t) = (v_{0x} \; {t} + x_0)\, \mathbf{i} + \left ( - \frac{1}{2} g {t^2} + v_{0y} \; t+ y_0 \right) \, \mathbf{j}
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